zcmimi's blog

数学常数

e,作为数学常数,是自然对数函数的底数.

e是一个无理数,并且是超越数

e=2.71828182845904523536\cdots

e又称自然常数、欧拉数.

先引入关于e的有趣问题

银行问题

一笔钱存在在银行,假设这笔钱为1,

假设一年年结算一次,利率为100\%,,那么一年后得到1+1=2,

假设半年结算一次,利率为50\%,那么一年后得到(1+\frac 12)^2=2.25,

假设每个月结算一次,利率为\frac 1{12},那么一年后得到(1+\frac 1{12})^{12}=2.6130\dots ,

\vdots

假设\frac 1n年结算一次,一年后会得到(1+\frac 1n)^n .

n趋近于无限大时,那么得到的钱会不会无限多呢?

答案是不会,不管n怎么增长,得到的钱都不会超过e,

\displaystyle e=\lim_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n

细菌繁殖

假设有一种细菌一天会分裂一次,

如果细菌初始数量为1,经过x天后的细菌数量为2^x

我们把分裂看成增加100\%,那么上式可写为(1+100\%)^2

我们继续假定:每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了.

因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50\%.

(1+\frac 12)^2=2.25

那么一天后得到了2.25个细胞

假设分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢?

(1+\frac 1n)^n=?

n趋近于无限大时,\displaystyle \lim_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n=e

经过计算e=2.71828182845904523536\cdots

这也就是是e的含义:单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值.

e是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数.

定义

  1. \displaystyle e=\lim_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n

    \displaystyle e=\lim_{t\to 0} (1+\frac 1t)^{\frac 1t}(t\to 0时,\frac 1t\to\infty)

  2. e为阶乘倒数之无穷级数的和

    \displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1{n!}=\frac 1{0!}+\frac 1{1!}+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+\cdots

e的计算

\displaystyle \begin{aligned} e &=\lim_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n {n\choose i} 1^{n-i}\left(\frac 1n\right)^i\\ &=\lim_{n\to\infty} \left[ {n\choose 0}1^n \left(\frac 1n\right)^0 + {n\choose 1}1^{n-1} \left(\frac 1n\right)^1 + {n\choose 2}1^{n-2} \left(\frac 1n\right)^2 + {n\choose 3}1^{n-3} \left(\frac 1n\right)^3 + \cdots + {n\choose n}1^0 \left(\frac 1n\right)^n \right]\\ &=\lim_{n\to\infty} \left[ 1\times 1 + n \times \frac 1n + \frac{n!}{(n-2)!2!}\times \frac 1{n^2} + \frac{n!}{(n-3)!3!}\times \frac 1{n^3} + \cdots + 1\times \frac n{n!} \right]\\ &=\lim_{n\to\infty}\left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+\cdots+\frac 1{n^n}\right]\\ &=1+1+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+\cdots\\ &=2.71828182845904523536\cdots \end{aligned}

收敛证明:

\displaystyle \begin{aligned} e &=1+1+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+\cdots\\ &<1+1+\frac 12+\frac 1{2^2}+\cdots+\frac 1{2^{n-1}}\\ &=1+\frac{1-\left( \frac 12 \right)^n}{1-\frac 12}\\ &=1+2\left[1-\left( \frac 12 \right)^n \right]\\ &<3 \end{aligned}

性质

  1. e为唯一的正数x使:

    \displaystyle \int_1^x{\frac{\mathrm {d} t}t}=1

  2. e为唯一的实数x使:

    \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}h=1

    证明:

    x\to 0\ln(1+x)\sim x (\sim代表等价于)

    u=u(x)=\begin{cases} (1+x)^{\frac 1x} , &x\neq 0, x>-1\\ e,&x=0 \end{cases}

    \displaystyle \lim_{x\to 0}u(x)=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1x}=e=u(0)

    所以ux=0点也连续,u(x)(-1,+\infty)上的连续函数,故\ln u(x)也是(-1,+\infty)上的连续函数,那么

    \displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}x &=\lim_{x\to 0} \ln~(1+x)^{\frac 1x}\\ &=\lim_{x\to 0} \ln u(x)\\ &=\ln u(0)=\ln e\\ &=1 \end{aligned}

    所以x\to 0\ln(1+x)\sim x

    若记t=\ln (1+x),则x=e^t-1

    x\to 0等价于t\to 0,

    所以当t\to 0时,e^t-1\sim t

  3. e^x的导数还是e^x

    证明:

    \displaystyle \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x &=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{x+\Delta x-e^x}}{\Delta x}\\ &=e^x \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} \end{aligned}

    根据2,\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1,所以

    \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x

欧拉公式

e^{ix}=\cos x+i\sin x

x=\pi时,欧拉公式变为e^{i\pi}+1=0,即欧拉恒等式

欧拉恒等式,被誉为上帝公式,e\pii、乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好.

证明

把函数e^x,\sin x,\cos x写成泰勒级数形式:

\displaystyle e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\~\\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \\~\\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots

那么:

\begin{aligned} e^{ix} &=1+ix+\frac{i^2x^2}{2!}+\frac{i^3x^3}{3!}+\frac{i^4x^4}{4!}+\frac{i^5x^5}{5!}+\frac{i^6x^6}{6!}+\frac{i^7x^7}{7!}+\cdots\\~\\ &=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-i\frac{x^7}{7!}\\~\\ &=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots)\\~\\ &=\cos x + i\sin x \end{aligned}

x=\pi时:

e^{i\pi}=\cos\pi + i\sin\pi=-1

所以:

e^{i\pi}+1=0

证毕.

图像

数学常数与欧拉公式
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