数学常数
e,作为数学常数,是自然对数函数的底数.
e是一个无理数,并且是超越数
e=2.71828182845904523536\cdots
e又称自然常数、欧拉数.
先引入关于e的有趣问题
银行问题
一笔钱存在在银行,假设这笔钱为1,
假设一年年结算一次,利率为100\%,,那么一年后得到1+1=2,
假设半年结算一次,利率为50\%,那么一年后得到(1+\frac 12)^2=2.25,
假设每个月结算一次,利率为\frac 1{12},那么一年后得到(1+\frac 1{12})^{12}=2.6130\dots ,
\vdots
假设\frac 1n年结算一次,一年后会得到(1+\frac 1n)^n .
若n趋近于无限大时,那么得到的钱会不会无限多呢？
答案是不会,不管n怎么增长,得到的钱都不会超过e,
\displaystyle e=\lim_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n
细菌繁殖
假设有一种细菌一天会分裂一次,
如果细菌初始数量为1,经过x天后的细菌数量为2^x
我们把分裂看成增加100\%,那么上式可写为(1+100\%)^2
我们继续假定：每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了.
因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50\%.
(1+\frac 12)^2=2.25
那么一天后得到了2.25个细胞
假设分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢?
(1+\frac 1n)^n=?
当n趋近于无限大时,\displaystyle \lim_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n=e
经过计算e=2.71828182845904523536\cdots
这也就是是e的含义:单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值.
e是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数.
定义
\displaystyle e=\lim_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n
\displaystyle e=\lim_{t\to 0} (1+\frac 1t)^{\frac 1t}(t\to 0时,\frac 1t\to\infty)
e为阶乘倒数之无穷级数的和
\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1{n!}=\frac 1{0!}+\frac 1{1!}+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+\cdots
e的计算
\displaystyle
\begin{aligned}
e
&=\lim_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n\\
&=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n {n\choose i} 1^{n-i}\left(\frac 1n\right)^i\\
&=\lim_{n\to\infty} \left[ {n\choose 0}1^n \left(\frac 1n\right)^0 + {n\choose 1}1^{n-1} \left(\frac 1n\right)^1 + {n\choose 2}1^{n-2} \left(\frac 1n\right)^2 + {n\choose 3}1^{n-3} \left(\frac 1n\right)^3 + \cdots + {n\choose n}1^0 \left(\frac 1n\right)^n \right]\\
&=\lim_{n\to\infty} \left[ 1\times 1 + n \times \frac 1n + \frac{n!}{(n-2)!2!}\times \frac 1{n^2} + \frac{n!}{(n-3)!3!}\times \frac 1{n^3} + \cdots + 1\times \frac n{n!} \right]\\
&=\lim_{n\to\infty}\left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+\cdots+\frac 1{n^n}\right]\\
&=1+1+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+\cdots\\
&=2.71828182845904523536\cdots
\end{aligned}
收敛证明:
\displaystyle
\begin{aligned}
e
&=1+1+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+\cdots\\
&<1+1+\frac 12+\frac 1{2^2}+\cdots+\frac 1{2^{n-1}}\\
&=1+\frac{1-\left( \frac 12 \right)^n}{1-\frac 12}\\
&=1+2\left[1-\left( \frac 12 \right)^n \right]\\
&<3
\end{aligned}
性质
e为唯一的正数x使:
\displaystyle \int_1^x{\frac{\mathrm {d} t}t}=1
e为唯一的实数x使:
\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}h=1
证明:
x\to 0时\ln(1+x)\sim x (\sim代表等价于)
设u=u(x)=\begin{cases}
(1+x)^{\frac 1x} , &x\neq 0, x>-1\\
e,&x=0
\end{cases}
\displaystyle \lim_{x\to 0}u(x)=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1x}=e=u(0)
所以u在x=0点也连续,u(x)是(-1,+\infty)上的连续函数,故\ln u(x)也是(-1,+\infty)上的连续函数,那么
\displaystyle
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}x
&=\lim_{x\to 0} \ln~(1+x)^{\frac 1x}\\
&=\lim_{x\to 0} \ln u(x)\\
&=\ln u(0)=\ln e\\
&=1
\end{aligned}
所以x\to 0时\ln(1+x)\sim x
若记t=\ln (1+x),则x=e^t-1
x\to 0等价于t\to 0,
所以当t\to 0时,e^t-1\sim t
e^x的导数还是e^x
证明:
\displaystyle
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x
&=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{x+\Delta x-e^x}}{\Delta x}\\
&=e^x \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}
\end{aligned}
根据2,\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1,所以
\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x
欧拉公式
e^{ix}=\cos x+i\sin x
当x=\pi时,欧拉公式变为e^{i\pi}+1=0,即欧拉恒等式
欧拉恒等式,被誉为上帝公式,e、\pi、i、乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好.
证明
把函数e^x,\sin x,\cos x写成泰勒级数形式：
\displaystyle
e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
\\~\\
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots
\\~\\
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots
那么:
\begin{aligned}
e^{ix}
&=1+ix+\frac{i^2x^2}{2!}+\frac{i^3x^3}{3!}+\frac{i^4x^4}{4!}+\frac{i^5x^5}{5!}+\frac{i^6x^6}{6!}+\frac{i^7x^7}{7!}+\cdots\\~\\
&=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-i\frac{x^7}{7!}\\~\\
&=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots)\\~\\
&=\cos x + i\sin x
\end{aligned}
当x=\pi时:
e^{i\pi}=\cos\pi + i\sin\pi=-1
所以:
e^{i\pi}+1=0
证毕.
图像
