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概率

定义详见数学课本

条件概率

P(B|A)A发生的前提下,B发生的可能性

P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}

乘法公式

P(B|A)P(A)=P(AB)=P(A|B)P(B)

全概率公式

\forall i,j, A_i \cap A_j = \varnothing\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A_i)=1,则有

\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)

贝叶斯定理

P(B_i|A)=\dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(A|B_j)P(B_j)}

期望

定义:

对于一个随机变量的分布列XX的每个取值与对应概率的乘积之和即为期望

\displaystyle E(x)=\sum_{i=1}^nP(i)X_i

性质

E(X)=X\\ E(aX)=aE(X)\\ E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\ E(aX+bY)=aE(X)+bE(y)\\ E(XY)=E(X)E(Y)

其中加法时X,Y不需要相互独立

乘法时X,Y需要相互独立

全期望公式

X,Y,Z为随机变量,g(·)h(·)为连续函数,下列期望和条件期望均存在,则

E(X)=E[E(X|Y)],X,Y不需要相互独立

\displaystyle \begin{aligned} E[E(X|Y)] &=\sum_yE(X|Y=y)P(Y=y)\\ &=\sum_y\left(\sum_x xP(X=x|Y=y)\right)P(Y=y)\\ &=\sum_y\sum_x x P(X=x|Y=y)P(Y=y)\\ &=\sum_y\sum_x x P(Y=y|X=x)P(X=x)\\ &=\sum_x xP(X=x) \sum_y P(Y=y|X=x)\\ &=\sum_x xP(X=x)\\ &=E(x) \end{aligned}

概率与期望
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