zcmimi's blog

前置知识

  1. 极限
  2. 导数与高阶导数

下面简单介绍下极限与导数的概念

极限

\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac 1x=0表示当x无限趋近于无穷大时\frac 1x无限接近于0

\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac 1x=\infty表示当x无限趋近于0\frac 1x无限接近于无穷大

百度百科 - 极限 (数学术语)

维基百科 - 极限

导数

导数,又名微商,是微积分中的重要基础概念.

当函数y=f(x)的自变量x在一点x_0上产生一个增量\Delta x时,函数输出值的增量\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)与自变量增量\Delta x的比值在\Delta x趋于0时的极限a如果存在,a即为在x_0处的导数,记作f'(x_0)\frac d{dx} f(x_0).

\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

(图片摘自维基百科)

百度百科 - 导数

维基百科 - 导数

微分中值定理

罗尔定理

如果函数f(x)满足:

  1. 在闭区间[a,b]上连续
  2. 在开区间(a,b)内可导
  3. f(a)=f(b)

那么存在f'(\xi)=0,\xi \in(a,b)

几何意义:

如果光滑的曲线\tau: y=f(x)(x\in [a,b])的两个端点A,B等高,即其连线AB水平,则在\tau上必有一点C(\xi,f(\xi))(\xi \in(a,b)),\tauC点的切线是水平的

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理,也简称均值定理

罗尔定理的扩展

如果函数f(x)满足:

  1. 在闭区间[a,b]上连续
  2. 在开区间(a,b)内可导

那么存在f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\xi \in(a,b)

证明:

设直线AB:y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

作新的函数

\displaystyle \varphi(x)=f(x)-\left[ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right]

\varphi(x)[a,b]上连续,在(a,b)上可导,

\displaystyle \varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

\varphi(a)=0,\varphi(b)=0. \varphi(x)(x\in [a,b])符合罗尔定理的条件,所以\exist \xi \in (a,b)使得

\displaystyle \varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0

柯西中值定理

柯西中值定理,也叫拓展中值定理

如果函数f(x)满足:

  1. 在闭区间[a,b]上连续
  2. 在开区间(a,b)内可导
  3. g'(x)\neq 0(\forall x \in (a,b))

\exist \xi \in (a,b),使得:

\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

证明:

由拉格朗日定理,在条件g'(x)\neq 0下,

g(b)-g(a)=g'(\eta)(b-a)\neq 0,\eta \in (a,b)

作函数

\displaystyle F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))

易证F(x)[a,b]上满足洛尔定理条件,从而存在\xi \in(a,b)使得F'(\xi)=0,即

\displaystyle f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)

由于g'(\xi)\neq 0,得到

\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

泰勒展开

泰勒公式

若函数f(x)在包含x_0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有n+1阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:

\displaystyle \begin{aligned} f(x) &=\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)\\ &=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \end{aligned}

其中\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)} (\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\xi \in (x_0,x)

n\to \infty时,R_n(x)\to 0,可忽略不计,可以得到函数的另一种表现形式(即用无穷级数表示)

证明:

x_0<x(x_0>x的情况类似),设函数

\displaystyle F(t)=f(x)-\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i

G(t)=(x-t)^{n+1}

F(t)G(t)[x_0,x]上连续,在(x_0,x)上可导,且

\displaystyle F(x)=0,G(x)=0 \\~\\ \begin{aligned} F'(t) &=-\sum_{i=0}^n \left[ \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i \right]'\\ &=-f(t)-\sum_{i=1}^n \left[ \frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i - \frac{f^{(i)}(t)} {(i-1)!}(x-t)^{i-1} \right]\\ &=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \end{aligned} \\ G'(t)=-(n+1)(x-t)^n \\~\\ F(x_0)=f(x)-\left[ f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^2 \right]\\ G(x_0)=(x-x_0)^{n+1}

并且在(x_0,x)G'(t)\neq 0,所以F(t)G(t)[x_0,x]上满足柯西中值定理

从而存在\xi \in (x_0,x),使得

\displaystyle \frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}

也就是:

\displaystyle \frac{f(x)-\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i}{(x-x_0)^> {n+1}}=\frac{-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n}{-(n+1)(x-\xi)^n}=\frac{f^{(n> +1)}(\xi)}{(n+1)!}

所以:

\displaystyle f(x)-\sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

这常称为f(x)在点x_0n阶泰勒公式

n=0时,上述公式就是拉格朗日中值公式,故泰勒定理就是拉格朗日中值定理的推广

常用函数的泰勒展开

  1. e^x

    (e^x)'=e^x,当x_00时,

    \displaystyle e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots

  2. \sin x

    \sin^{(n)}(x)=\sin(x+n\cdot \frac{\pi}2),当x_00时,

    \displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots

  3. \cos x

    \cos^{(n)}(x)=\cos(x+n\cdot \frac{\pi}2),当x_00时,

    \displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots

  4. \ln (1+x)

    \ln^{(n)} (1+x)=(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n},当x_00时,

    \displaystyle x-\frac {x^2}2+\frac {x^3}3-\cdots+\frac {(-1)^{n+1}}n x^{n}-\cdots

  5. \ln(1-x)

    \ln^{(n)} (1-x)=-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n},当x_00时,

    \displaystyle -x-\frac {x^2}2-\frac {x^3}3-\cdots-\frac {x^{n}}n-\cdots

  6. \frac 1{1-x}

    (\frac 1{1-x})^{(n)}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}},当x_00时,

    \displaystyle 1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1

洛必达法则

假设函数f(x)g(x)满足下列条件:

  1. f(x),g(x)都在a点的某去心邻域\mathring{U}(a)上可导,且g'(x)\neq 0(\forall x \in \mathring{U}(a))

  2. x\to af(x)\to 0,g(x)\to 0(或f(x)\to \infty,g(x)\to \infty)

  3. \displaystyle lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}存在(也可以是\infty)

\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

证明:

由于\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}f(x),g(x)a点的取值无关,我们可以设f(a)=0,g(a)=0,则f(x),g(x)a的某一邻域内连续

x\in \mathring{U}(a),由定理的条件1,f(x)g(x)[a,x](或[x,a])上满足柯西中值定理的条件,从而存在\xi \in(a,x)(或(x,a)),使得

\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

x\to a\xi \to a,所以

\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

在条件1,2下,只要\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=A\text{或}\infty,则\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}必存在,且就等于A\text{或}\infty

所以为了确定\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}的值,只要把分子、分母分别求导再取极限,在这个极限存在(或是\infty)的情况下,就可以确定原来未定式的值(或是\infty)

这种确定未定式的值得方法称为洛必达法则

使用洛必达法则时必须注意:

  1. \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}必须是\frac 00型或\frac \infty\infty型的

  2. \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}存在(或是\infty),

    \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}不存在时需要用其他方法判断这个极限是否存在

错误示例:

\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac x{1+\sin x}

x\to 0时,1+\sin x\to 1,

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac x{1+sin x}=\frac 01=0

套用洛必达法则,就会导致:

\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac x{1+\sin x}=\lim_{x\to 0} \frac 1{\cos x}=1

例1:

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}

这是\frac 00型未定式,使用洛必达法则,有

\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2}

还是\frac 00型,再次使用洛必达法则

\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{6x}=\frac 16

例2:

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x^n}{e^x}

这是\frac \infty\infty型未定式

接连使用洛必达法则n次,得

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x^n}{e^x}=\lim_{x\to +\infty} \frac{nx^{n-1}}{e^x}=\cdots=\lim_{x\to +\infty} \frac{n!}{e^x}=0

泰勒展开与洛必达法则
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