zcmimi's blog

定义

n个元素中取出m个的方案数,记为n\choose mC_n^m

{n\choose m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}

帕斯卡法则

{n-1\choose m}+{n-1\choose m-1}={n\choose m}

证明:

  1. 组合数学上的意义与证明

    {n\choose m}表示在有n个元素的集内,有m个元素的子集的数目。

    这些子集之中,可分为包含第一个元素的和不含第一个元素的。

    包含第一个元素的子集有{n-1 \choose m-1}个,不含的有{n-1 \choose m}个。

  2. 代数证明

二项式定理

\displaystyle (x+y)^n={n\choose 0}x^ny^0 + {n\choose 1}x^{n-1}y^1+{n\choose 2}x^{n-2}y^2+\dots+{n\choose n}x^0y^n \\~\\ (x+y)^n =\sum_{i=0}^n{n\choose i}x^{n-i}y^i =\sum_{i=0}^n{n\choose i}x^iy^{n-i} \\~\\ (1+x)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}x^i

证明(数学归纳法):

组合数
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