zcmimi's blog
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zc
2019-12-21 19:47:00
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斜率优化入门题

f_i表示前i件玩具的制作费用

f_i=\min_{j=1}^{i-1}(f[j]+(i-j-1+s_i-s_j-L)^2)

显然\Theta(n^2)不能满足要求

a_i=s_i+i,b[i]=s_i+i+L+1

(都只与i有关)

那么 f_i=\min_{j=1}^{i-1}(f_j+(a_i-b_j)^2) \\\text{展开得}\\ f_i=f_j+{a_i}^2-2a_ib_j+{b_j}^2 \\\text{移项得}\\ 2a_ib_j+f_i-{a_i}^2=f_j+{b_j}^2

x=b_j,y=f_j+{b_j}^2 y=2a_ix+(f_i-{a_i}^2)

可以看成一条斜率为2a_i的直线

f_i含义转化为当上述直线经过点(x,y)(b_j,f_j+{b_j}^2)时,直线在y轴的截距上加上{a_i}^2

题目就是要找这个最小的截距

我们可以将这条直线从下往上平移,直到经过第一个点

这样的话我们可以维护一个下凸壳

求的过程大概是这样:

https://www.desmos.com/calculator/mqsdvzuaee

那么如何维护这样一个下凸壳呢?

可以发现凸壳中的相邻两点的斜率是递增的

我们可以用单调队列维护

那么查询呢?

我们可以发现:

如果当前直线经过的点左边的斜率<当前斜率<右边的斜率,

那么这个点就是最优的。

我们可以按照下面的方案实现:

设队头为h,队尾为t,队列数组为q,s(i,j)为直线ij的斜率

  1. while(s(q_h,q_{h+1})<2a_i)++h;
  2. 当前队头的点最优,用这个点计算出f_i
  3. while(s(q_{t-1},q_t)>s(q_{t-1},i))--t;
  4. 队尾插入点i

对于3操作的解释:

假设当前插入的是红点,那么绿点明显在凸包内,要删除掉

#include<bits/stdc++.h>
namespace ZDY{
    #pragma GCC optimize(3)
    #define il __inline__ __attribute__ ((always_inline))
    #define register
    #define ll long long
    #define ull unsigned long long
    #define db double
    #define sht short
    #define MB template <class T>il
    #define Fur(i,x,y) for(int i(x);i<=y;++i)
    #define Fdr(i,x,y) for(int i(x);i>=y;--i)
    #define fl(i,x) for(int i(head[x]),to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
    #define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
    #define cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
    #define fin(s) freopen(s".in","r",stdin)
    #define fout(s) freopen(s".out","w",stdout)
    #define fcin ios::sync_with_stdio(false)
    #define l2(n) ((int)(log2(n)))
    #define inf 2122219134
    MB T ABS(T x){return x>0?x:-x;}
    MB T MAX(T x,T y){return x>y?x:y;}
    MB T MIN(T x,T y){return x<y?x:y;}
    MB T GCD(T x,T y){return y?GCD(y,x%y):x;}
    MB void SWAP(T &x,T &y){T t=x;x=y;y=t;}
}using namespace ZDY;using namespace std;
namespace IO{const int str=1<<20;static char in_buf[str],*in_s,*in_t;bool __=0;il char gc(){return (in_s==in_t)&&(in_t=(in_s=in_buf)+fread(in_buf,1,str,stdin)),in_s==in_t?EOF:*in_s++;}il void in(string &ch){ch.clear();if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF){__=1;return;}ch+=c;while((c=gc())!=EOF&&!isspace(c))ch+=c;if(c==EOF)__=1;}il void in(char &ch){if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF)__=1;else ch=c;}il void in(char *ch){*ch='\0';if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF){__=1;return;}*ch=c;ch++;while((c=gc())!=EOF&&!isspace(c))*ch=c,ch++;if(c==EOF)__=1;*ch='\0';}template<typename T>il void in(T &x){if(__)return;char c=gc();bool f=0;while(c!=EOF&&(c<'0'||c>'9'))f^=(c=='-'),c=gc();if(c==EOF){__=1;return;}x=0;while(c!=EOF&&'0'<=c&&c<='9')x=x*10+c-48,c=gc();if(c==EOF)__=1;if(f)x=-x;}template<typename T,typename ... arr>il void in(T &x,arr & ... y){in(x),in(y...);}const char ln='\n';static char out_buf[str],*out_s=out_buf,*out_t=out_buf+str;il void flush(){fwrite(out_buf,1,out_s-out_buf,stdout);out_s=out_buf;}il void pt(char c){(out_s==out_t)?(fwrite(out_s=out_buf,1,str,stdout),*out_s++=c):(*out_s++=c);}il void out(const char* s){while(*s)pt(*s++);}il void out(char* s){while(*s)pt(*s++);}il void out(char c){pt(c);}il void out(string s){for(int i=0;s[i];i++)pt(s[i]);}template<typename T>il void out(T x){if(!x){pt('0');return;}if(x<0)pt('-'),x=-x;char a[50],t=0;while(x)a[t++]=x%10,x/= 10;while(t--)pt(a[t]+'0');}template<typename T,typename ... arr>il void out(T x,arr & ... y){out(x),out(y...);}}using namespace IO;
#define N 50011
int n,L,c[N];
ll f[N],s[N];
db a(int i){return s[i]+i;}
db b(int i){return s[i]+i+L+1;}
db x(int i){return b(i);}
db y(int i){return f[i]+b(i)*b(i);}
db S(int i,int j){return (y(i)-y(j))/(x(i)-x(j));}
int q[N];
int main(){
    in(n,L);
    Fur(i,1,n)in(s[i]),s[i]+=s[i-1];
    int h=1,t=1;
    Fur(i,1,n){
        while(h<t&&S(q[h],q[h+1])<(a(i)*2))++h;
        f[i]=f[q[h]]+(a(i)-b(q[h]))*(a(i)-b(q[h]));
        while(S(q[t-1],q[t])>S(q[t-1],i))--t;
        q[++t]=i;
    }
    cout<<f[n]<<endl;
}
LG 3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY
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