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扩展中国剩余定理

给定方程组:

\begin{cases} x \equiv a_1\ ({\rm mod}\ m_1) \\ x\equiv a_2\ ({\rm mod}\ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_n\ ({\rm mod}\ m_n) \end{cases}

求最小的非负整数x

假设我们求出了前i-1组的解x_{i-1}

M=\operatorname{lcm}(m_1,m_2,\cdots,m_{i-1})

x_{i-1}+\lambda M \equiv a_{i-1} \pmod{m_{i-1}}(\lambda \in \Z)

那么我们需要求出最小的非负整数t使:

x_{i-1}+tM\equiv a_i \pmod{m_i}

也就是Mt\equiv a_i-x_{i-1} \pmod{m_i}

可以使用Exgcd求解t (ax\equiv c \pmod b)

如果无解,则整个方程误解

若有解,x_i=x_{i-1}+tM

LG P4777 【模板】扩展中国剩余定理(EXcrt)

代码:

const int N=100011;
int n;ll m[N],a[N];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y;y=t-a/b*y;
    return gcd;
}
ll mul(ll x,ll b,ll p){
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1)ans=(ans+x)%p;
        b>>=1;x=(x+x)%p;
    }
    return ans;
}
ll excrt(){
    ll ans=a[1],M=m[1],t,y;
    Fur(i,2,n){
        ll b=m[i],c=(a[i]-ans%b+b)%b,
            gcd=exgcd(M,b,t,y);
        if(c%gcd)return -1;
        t=mul(t,c/gcd,b/gcd);
        ans+=t*M;
        M*=b/gcd;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return ans;
}
int main(){
    in(n);
    Fur(i,1,n)in(m[i],a[i]);
    printf("%lld\n",excrt());
}
excrt
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