zcmimi's blog

kruskal重构树

我们回想一下kruskal生成最小生成树的过程:

先将边按边权从小到大排序,然后依次加入

如果x,y已经联通,则跳过这条边

否则连接x,y

kruskal重构树是在kruskal生成最小生成树的,

连接x,y时,将边权变成一个新的节点t权值为边权,然后连边t\rightarrow x,t\rightarrow y

代码:

void kruskal(){
    int x,y,tt=n;
    sort(E+1,E+m+1);//将边排序
    Fur(i,1,n)fa[i]=i;
    Fur(i,1,m){
        x=gf(E[i].x),y=gf(E[i].y);
        if(x==y)continue;//如果已经联通则跳过
        ne[++tt]=E[i].w;//点权赋值为边权
        fa[x]=fa[y]=fa[tt]=tt;
        f[0][x]=f[0][y]=tt;
        //维护并查集
        add(tt,x);add(tt,y);//连边t→x,t→y
    }
}

kruskal重构树还有很多有意思的性质

  1. 原树的节点个数变成2n-1个
  2. 是一个二叉树
  3. 如果是按最小生成树建立的话是一个大根堆
  4. 任意两个点路径上边权的最大值为它们的LCA的点权
  5. 重构树中代表原树中的点的节点全是叶子节点,其余节点都代表了一条边的边权。

例题:

LG 4197 Peaks

LG 4197 Peaks

题意:

在Bytemountains有n座山峰,每座山峰有他的高度h_i。有些山峰之间有双向道路相连,共m条路径,每条路径有一个困难值,这个值越大表示越难走。

现在有q组询问,每组询问询问从点v开始只经过困难值小于等于x的路径所能到达的山峰中第k高的山峰,如果无解输出-1

题解:

可以算是kruskal重构树的模板题

建完kruskal重构树,我们可以发现一个节点(新建的带点权的点)能走到的节点一定在它的子树中

那么我们可以用dfs序+主席树维护

给出重构后的图(帮助理解):

(红色的是原来的节点)

可以倍增求出最远的满足要求的祖先

#include<bits/stdc++.h>
#define il __inline__ __attribute__ ((always_inline))
#define Fur(i,x,y) for(int i(x);i<=y;++i)
#define Fdr(i,x,y) for(int i(x);i>=y;--i)
#define fl(i,x) for(int i(head[x]),to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define l2(n) ((int)(log2(n)))
#define inf 2122219134
il int MIN(int x,int y){return x<y?x:y;}
using namespace std;
namespace IO{const int str=1<<20;static char in_buf[str],*in_s,*in_t;bool __=0;il char gc(){return (in_s==in_t)&&(in_t=(in_s=in_buf)+fread(in_buf,1,str,stdin)),in_s==in_t?EOF:*in_s++;}il void in(string &ch){ch.clear();if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF){__=1;return;}ch+=c;while((c=gc())!=EOF&&!isspace(c))ch+=c;if(c==EOF)__=1;}il void in(char &ch){if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF)__=1;else ch=c;}il void in(char *ch){*ch='\0';if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF){__=1;return;}*ch=c;ch++;while((c=gc())!=EOF&&!isspace(c))*ch=c,ch++;if(c==EOF)__=1;*ch='\0';}template<typename T>il void in(T &x){if(__)return;char c=gc();bool f=0;while(c!=EOF&&(c<'0'||c>'9'))f^=(c=='-'),c=gc();if(c==EOF){__=1;return;}x=0;while(c!=EOF&&'0'<=c&&c<='9')x=x*10+c-48,c=gc();if(c==EOF)__=1;if(f)x=-x;}template<typename T,typename ... arr>il void in(T &x,arr & ... y){in(x),in(y...);}const char ln='\n';static char out_buf[str],*out_s=out_buf,*out_t=out_buf+str;il void flush(){fwrite(out_buf,1,out_s-out_buf,stdout);out_s=out_buf;}il void pt(char c){(out_s==out_t)?(fwrite(out_s=out_buf,1,str,stdout),*out_s++=c):(*out_s++=c);}il void out(const char* s){while(*s)pt(*s++);}il void out(char* s){while(*s)pt(*s++);}il void out(char c){pt(c);}il void out(string s){for(int i=0;s[i];i++)pt(s[i]);}template<typename T>il void out(T x){if(!x){pt('0');return;}if(x<0)pt('-'),x=-x;char a[50],t=0;while(x)a[t++]=x%10,x/= 10;while(t--)pt(a[t]+'0');}template<typename T,typename ... arr>il void out(T x,arr & ... y){out(x),out(y...);}}using namespace IO;
#define N 200011
#include<bits/stdc++.h>
namespace ZDY{
    #pragma GCC optimize(3)
    #define il __inline__ __attribute__ ((always_inline))
    #define register
    #define ll long long
    #define ull unsigned long long
    #define db double
    #define sht short
    #define MB template <class T>il
    #define Fur(i,x,y) for(int i(x);i<=y;++i)
    #define Fdr(i,x,y) for(int i(x);i>=y;--i)
    #define fl(i,x) for(int i(head[x]),to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
    #define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
    #define cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
    #define fin(s) freopen(s".in","r",stdin)
    #define fout(s) freopen(s".out","w",stdout)
    #define fcin ios::sync_with_stdio(false)
    #define l2(n) ((int)(log2(n)))
    #define inf 2122219134
    MB T ABS(T x){return x>0?x:-x;}
    MB T MAX(T x,T y){return x>y?x:y;}
    MB T MIN(T x,T y){return x<y?x:y;}
    MB T GCD(T x,T y){return y?GCD(y,x%y):x;}
    MB void SWAP(T &x,T &y){T t=x;x=y;y=t;}
}using namespace ZDY;using namespace std;
#define N 200011
int n,m,q,SZ=0,rt[N];
struct node{
    int v,p;
    il bool operator<(node x){return v<x.v;}
}b[N];
int a[N],c[N];
struct link{
    int x,y,w;
    il bool operator<(link x){return w<x.w;}
}E[500011];
void init(){
    in(n,m,q);
    Fur(i,1,n)in(b[i].v),b[i].p=i;
    sort(b+1,b+n+1);
    b[0].v=-inf;
    sort(b+1,b+n+1);
    Fur(i,1,n){
        SZ+=(b[i].v!=b[i-1].v);
        c[a[b[i].p]=SZ]=b[i].v;
    }
    Fur(i,1,m)in(E[i].x,E[i].y,E[i].w);
}
int fa[N],f[21][N];
int gf(int x){return (x==fa[x])?x:(fa[x]=gf(fa[x]));}
struct tree{
    int s[N*20],sz=0,ls[N*20],rs[N*20];
    void build(int l,int r,int &x){
        s[x=++sz]=0;
        if(l==r)return;
        int m=(l+r)>>1;
        build(l,m,ls[x]);
        build(m+1,r,rs[x]);
    }
    void ins(int l,int r,int v,int &x,int pre){
        x=++sz;
        s[x]=s[pre]+1;
        ls[x]=ls[pre];
        rs[x]=rs[pre];
        if(l==r)return;
        int m=(l+r)>>1;
        if(v<=m)ins(l,m,v,ls[x],ls[pre]);
        else ins(m+1,r,v,rs[x],rs[pre]);
    }
    int ask(int l,int r,int k,int x,int y){
        if(l==r)return l;
        int m=(l+r)>>1,sum=s[rs[y]]-s[rs[x]];
        if(k<=sum)return ask(m+1,r,k,rs[x],rs[y]);
        else return ask(l,m,k-sum,ls[x],ls[y]);
    }
}T;
int cnt=0,head[N];
struct edge{
    int to,nxt;
}e[N*2];
il void add(int x,int y){e[++cnt].to=y;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;}
int L[N],R[N],dfn=0;
void dfs(int x){
    Fur(i,1,20)f[i][x]=f[i-1][f[i-1][x]];
    L[x]=dfn;
    if(!head[x]){
        L[x]=++dfn;
        T.ins(1,SZ,a[x],rt[dfn],rt[dfn-1]);
        R[x]=dfn;
        return;
    }
    fl(i,x)dfs(to);
    R[x]=dfn;
}
int ne[N];
void kruskal(){
    int x,y,tt=n;
    sort(E+1,E+m+1);
    Fur(i,1,n)fa[i]=i;
    Fur(i,1,m){
        x=gf(E[i].x),y=gf(E[i].y);
        if(x==y)continue;
        ne[++tt]=E[i].w;
        fa[x]=fa[y]=fa[tt]=tt;
        f[0][x]=f[0][y]=tt;
        add(tt,x);add(tt,y);
    }
    T.build(1,SZ,rt[0]);
    dfs(tt);
}
void solve(){
    int x,w,k;
    while(q--){
        in(x,w,k);
        Fdr(i,20,0)if(f[i][x]&&ne[f[i][x]]<=w)x=f[i][x];
        if(R[x]-L[x]<k)out("-1\n");
        else out(c[T.ask(1,SZ,k,rt[L[x]],rt[R[x]])],ln);
    }
}
int main(){
    init();
    kruskal();
    solve();
    flush();
    return 0;
}

BZ 3732 Network

题意:

给你N个点的无向图 (1 <= N <= 15,000),记为:1…N。 图中有M条边 (1 <= M <= 30,000) ,第j条边的长度为: d_j ( 1 < = d_j < = 1,000,000,000).

现在有 K个询问 (1 < = K < = 20,000)。 每个询问的格式是:A B,表示询问从A点走到B点的所有路径中,最长的边最小值是多少?

更裸的kruskal重构树模板

kruskal重构树+lca+rmq

#include<bits/stdc++.h>
#define il __inline__ __attribute__ ((always_inline))
#define Fur(i,x,y) for(int i(x);i<=y;++i)
#define Fdr(i,x,y) for(int i(x);i>=y;--i)
#define fl(i,x) for(int i(head[x]),to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define l2(n) ((int)(log2(n)))
#define inf 2122219134
il int MIN(int x,int y){return x<y?x:y;}
using namespace std;
namespace IO{const int str=1<<20;static char in_buf[str],*in_s,*in_t;bool __=0;il char gc(){return (in_s==in_t)&&(in_t=(in_s=in_buf)+fread(in_buf,1,str,stdin)),in_s==in_t?EOF:*in_s++;}il void in(string &ch){ch.clear();if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF){__=1;return;}ch+=c;while((c=gc())!=EOF&&!isspace(c))ch+=c;if(c==EOF)__=1;}il void in(char &ch){if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF)__=1;else ch=c;}il void in(char *ch){*ch='\0';if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF){__=1;return;}*ch=c;ch++;while((c=gc())!=EOF&&!isspace(c))*ch=c,ch++;if(c==EOF)__=1;*ch='\0';}template<typename T>il void in(T &x){if(__)return;char c=gc();bool f=0;while(c!=EOF&&(c<'0'||c>'9'))f^=(c=='-'),c=gc();if(c==EOF){__=1;return;}x=0;while(c!=EOF&&'0'<=c&&c<='9')x=x*10+c-48,c=gc();if(c==EOF)__=1;if(f)x=-x;}template<typename T,typename ... arr>il void in(T &x,arr & ... y){in(x),in(y...);}const char ln='\n';static char out_buf[str],*out_s=out_buf,*out_t=out_buf+str;il void flush(){fwrite(out_buf,1,out_s-out_buf,stdout);out_s=out_buf;}il void pt(char c){(out_s==out_t)?(fwrite(out_s=out_buf,1,str,stdout),*out_s++=c):(*out_s++=c);}il void out(const char* s){while(*s)pt(*s++);}il void out(char* s){while(*s)pt(*s++);}il void out(char c){pt(c);}il void out(string s){for(int i=0;s[i];i++)pt(s[i]);}template<typename T>il void out(T x){if(!x){pt('0');return;}if(x<0)pt('-'),x=-x;char a[50],t=0;while(x)a[t++]=x%10,x/= 10;while(t--)pt(a[t]+'0');}template<typename T,typename ... arr>il void out(T x,arr & ... y){out(x),out(y...);}}using namespace IO;
#define N 200011
#include<bits/stdc++.h>
namespace ZDY{
    #pragma GCC optimize(3)
    #define il __inline__ __attribute__ ((always_inline))
    #define register
    #define ll long long
    #define ull unsigned long long
    #define db double
    #define sht short
    #define MB template <class T>il
    #define Fur(i,x,y) for(int i(x);i<=y;++i)
    #define Fdr(i,x,y) for(int i(x);i>=y;--i)
    #define fl(i,x) for(int i(head[x]),to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
    #define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
    #define cpy(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
    #define fin(s) freopen(s".in","r",stdin)
    #define fout(s) freopen(s".out","w",stdout)
    #define fcin ios::sync_with_stdio(false)
    #define l2(n) ((int)(log2(n)))
    #define inf 2122219134
    MB T ABS(T x){return x>0?x:-x;}
    MB T MAX(T x,T y){return x>y?x:y;}
    MB T MIN(T x,T y){return x<y?x:y;}
    MB T GCD(T x,T y){return y?GCD(y,x%y):x;}
    MB void SWAP(T &x,T &y){T t=x;x=y;y=t;}
}using namespace ZDY;using namespace std;
#define N 30011
int n,m,q,cnt=0,head[N],f[N],ne[N];
struct edge{
    int to,nxt;
}e[N*2];
il void add(int x,int y){e[++cnt].to=y;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;}
struct link{
    int x,y,w;
    il bool operator<(link x){return w<x.w;}
}E[N];
int gf(int x){return (x==f[x])?x:(f[x]=gf(f[x]));}
int s[16][N];
il void st(){
    int sz=l2(n<<1);
    Fur(k,1,sz)
        Fur(i,1,(n<<1)-(1<<k)+1)
        s[k][i]=MAX(s[k-1][i],s[k-1][i+(1<<(k-1))]);
}
il int ask(int l,int r){
    int k=l2(r-l+1);
    return MAX(s[k][l],s[k][r-(1<<k)+1]);
}
int top[N],d[N],siz[N],id[N],sz=0;
void dfs(int x){
    siz[x]=1;
    fl(i,x){
        d[to]=d[x]+1;
        f[to]=x;
        dfs(to);
        siz[x]+=siz[to];
    }
}
void bt(int x,int tp){
    top[x]=tp;id[x]=++sz;
    s[0][sz]=ne[x];
    int k=0;
    fl(i,x)if(siz[to]>siz[k])k=to;
    if(!k)return;bt(k,tp);
    fl(i,x)if(to!=k)bt(to,to);
}
il int fh(int x,int y){
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(d[top[x]]<d[top[y]])SWAP(x,y);
        ans=MAX(ans,ask(id[top[x]],id[x]));x=f[top[x]];
    }
    if(id[x]>id[y])SWAP(x,y);
    return MAX(ans,ask(id[x],id[y]));
}
int main(){
    in(n),in(m),in(q);
    int x,y,w,t=n;
    Fur(i,1,m)in(E[i].x),in(E[i].y),in(E[i].w);
    sort(E+1,E+m+1);
    Fur(i,1,n)f[i]=i;
    Fur(i,1,m){
        x=gf(E[i].x),y=gf(E[i].y);
        if(x==y)continue;
        ne[++t]=E[i].w;
        f[x]=f[y]=f[t]=t;
        add(t,x),add(t,y);
    }
    dfs(t);
    bt(t,t);
    st();
    while(q--)
        in(x),in(y),
        out(fh(x,y)),pt(ln);
    flush();
}

NOI 2018 归程

LG 4768

先想想暴力做法:

bfs出不涉水可以到达的点,然后在这些点中找出与点1的最小距离

优化:

我们可以使用kruskal重构树来快速求出这些点

先按海拔从高到低排序,这样见出来的kruskal重构树的是海拔的小根堆

我们可以倍增找出最远可以到达的祖先,然后求出这段区间中的点与点1的最小距离

可以在dfs的时候预处理

详见代码

#include<bits/stdc++.h>
#define il __inline__ __attribute__ ((always_inline))
#define Fur(i,x,y) for(int i(x);i<=y;++i)
#define Fdr(i,x,y) for(int i(x);i>=y;--i)
#define fl(i,x) for(int i(head[x]),to;to=e[i].to,i;i=e[i].nxt)
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define l2(n) ((int)(log2(n)))
#define inf 2122219134
il int MIN(int x,int y){return x<y?x:y;}
using namespace std;
namespace IO{const int str=1<<20;static char in_buf[str],*in_s,*in_t;bool __=0;il char gc(){return (in_s==in_t)&&(in_t=(in_s=in_buf)+fread(in_buf,1,str,stdin)),in_s==in_t?EOF:*in_s++;}il void in(string &ch){ch.clear();if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF){__=1;return;}ch+=c;while((c=gc())!=EOF&&!isspace(c))ch+=c;if(c==EOF)__=1;}il void in(char &ch){if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF)__=1;else ch=c;}il void in(char *ch){*ch='\0';if(__)return;char c;while((c=gc())!=EOF&&isspace(c));if(c==EOF){__=1;return;}*ch=c;ch++;while((c=gc())!=EOF&&!isspace(c))*ch=c,ch++;if(c==EOF)__=1;*ch='\0';}template<typename T>il void in(T &x){if(__)return;char c=gc();bool f=0;while(c!=EOF&&(c<'0'||c>'9'))f^=(c=='-'),c=gc();if(c==EOF){__=1;return;}x=0;while(c!=EOF&&'0'<=c&&c<='9')x=x*10+c-48,c=gc();if(c==EOF)__=1;if(f)x=-x;}template<typename T,typename ... arr>il void in(T &x,arr & ... y){in(x),in(y...);}const char ln='\n';static char out_buf[str],*out_s=out_buf,*out_t=out_buf+str;il void flush(){fwrite(out_buf,1,out_s-out_buf,stdout);out_s=out_buf;}il void pt(char c){(out_s==out_t)?(fwrite(out_s=out_buf,1,str,stdout),*out_s++=c):(*out_s++=c);}il void out(const char* s){while(*s)pt(*s++);}il void out(char* s){while(*s)pt(*s++);}il void out(char c){pt(c);}il void out(string s){for(int i=0;s[i];i++)pt(s[i]);}template<typename T>il void out(T x){if(!x){pt('0');return;}if(x<0)pt('-'),x=-x;char a[50],t=0;while(x)a[t++]=x%10,x/= 10;while(t--)pt(a[t]+'0');}template<typename T,typename ... arr>il void out(T x,arr & ... y){out(x),out(y...);}}using namespace IO;
#define N 200011
int n,m,cnt=0,d[N<<1],head[N];
struct link{
    int x,y,l,a;
    il bool operator<(link b){return a>b.a;}
}E[N<<1];
struct edge{int to,nxt,w;}e[N<<2];
il void add(int x,int y,int w){e[++cnt].to=y;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;e[cnt].w=w;}
bool v[N];
il void dij(){
    struct cmp{il bool operator()(int x,int y){return d[x]>d[y];}};
    priority_queue<int,vector<int>,cmp>q;
    Fur(i,1,n)d[i]=inf;
    d[1]=0;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int x=q.top();v[x]=0;q.pop();
        fl(i,x)if(d[x]+e[i].w<d[to]){
            d[to]=d[x]+e[i].w;
            if(!v[to])v[to]=1,q.push(to);
        }
    }
}
int fa[N<<1],ne[N<<1],f[21][N<<1];
int gf(int x){return (x==fa[x])?x:(fa[x]=gf(fa[x]));}
int ls[N<<1],rs[N<<1];
void dfs(int x){
    Fur(i,1,20)f[i][x]=f[i-1][f[i-1][x]];
    if(!ls[x])return;
    dfs(ls[x]),dfs(rs[x]);
    d[x]=MIN(d[ls[x]],d[rs[x]]);
}
il void work(){
    clr(head,0);cnt=0;
    clr(ls,0);clr(rs,0);
    in(n,m);
    int x,y,l,a,t=n;
    Fur(i,1,m){
        in(x,y,l,a);
        E[i]=link{x,y,l,a};
        add(x,y,l);add(y,x,l);
    }
    dij();
    sort(E+1,E+m+1);
    Fur(i,1,n*2+1)fa[i]=i;
    Fur(i,1,m){
        x=gf(E[i].x),y=gf(E[i].y);
        if(x==y)continue;
        ne[++t]=E[i].a;
        fa[x]=fa[y]=fa[t]=t;
        f[0][x]=f[0][y]=t;
        ls[t]=x;rs[t]=y;
    }
    dfs(t);
    int Q,K,S,p,la=0;
    in(Q,K,S);
    while(Q--){
        in(x,p);
        x=(x+K*la-1)%n+1;
        p=(p+K*la)%(S+1);
        Fdr(i,20,0)if(f[i][x]&&ne[f[i][x]]>p)x=f[i][x];
        out(la=d[x],ln);
    }
}
int main(){
    int T;in(T);
    while(T--)work();
    flush();
}

NOIP2013 货车运输

A国有n 座城市,编号从 1 n,城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制,简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物, 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下,最多能运多重的货物。

输入格式

第一行有两个用一个空格隔开的整数 n,m,表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。

接下来 m行每行 3 个整数 x, y, z,每两个整数之间用一个空格隔开,表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。注意: x 不等于 y,两座城市之间可能有多条道路

接下来一行有一个整数 q,表示有 q 辆货车需要运货。

接下来 q 行,每行两个整数 x、y,之间用一个空格隔开,表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市,注意: x 不等于 y

题解:

可以很明显地看出这就是模板

kruskal重构树+lca

kruskal重构树
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