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arrow_back斯特林数共4篇文章

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zcmimi
2020-08-27 16:32:00

问题

\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i^k

1258 序列求和 V4

普通求法:

$$ (n+1)^{k+1}-

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zcmimi
2020-07-25 13:25:00

第一类斯特林数

定义

  • s(n,m)表示将n个元素分成m个圆排列的方案数

  • 记作\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}

递推式

$$ \begin{bmatrix}n\m\end{bmatrix}=\begin{bmat

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zc
2020-07-25 19:14:00
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f(n)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix} 2^j j!

考虑到i<j\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}=0 :

f(n)=\sum_{j=0}^n 2^j j! \sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}\\ =\sum_{j=0}^n 2^j j! \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^j \frac{(-1)^k}{k!} \frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\\ =\sum_{j=0}^n 2^j j! \sum_{k=0}^j \frac{(-1)^k}{k!} \frac{\sum_{i=0}^n (j-k)^i}{(j-k)!}

\displaystyle g(k)=\frac{(-1)^k}{k!}, h(k)=\frac{\sum_{i=0}^n k^i}{k!}=\frac{k^{n+1}-1}{(k-1)k!} ,

特别的: h(0)=1,h(1)=n+1

那么

f(n)=\sum_{j=0}^n 2^j j! (g\times h)(j)

卷积后即可计算

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zc
2020-07-18 11:27:00
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